UNI 2023 - II MATEMÁTICAS

Sea \[\alpha \in \mathbb{R}\], dada la siguiente serie:

\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log_{2}{(n^{\alpha}})}{n}\]

Indique la proposición verdadera:

Determine el dominio de la siguiente función:

\[ f(x)=ln( \sqrt{1 - x^{2}} -3)\]

Donde In representa el logaritmo natural.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ x + 2y - 2z =0 \]

\[ 2x - y + az=0\]

\[ 3x + y - z=0 \]

Si este sistema de ecuaciones tiene soluciones no nulas, entonces el valor de \[a\] pertenece al intervalo:

Resolver en \[ \mathbb{R} \] la siguiente inecuacién:

\[ \frac{ \sqrt{x-1}(x^{2}-4)(x^{2}+3x+9)}{(x^2-3x+9)(x^4-16)} > 0 \]

Indique el conjunto solución.

En la siguiente ecuación:

\[ \frac{x}{x+5} + \frac{5}{2 \sqrt{x+5} } - \frac{6}{5} = 0 \]

Determine la suma de las raíces reales.

Determine el valor máximo de la función objetivo \[f(x; y)=2x+3y\] sujeta a la restricción:

\[R: \begin{cases} 2y\leq x + 2 \\ y - x \geq -1 \\0 \leq x \leq 4 \\y \geq 0\end{cases} \]

Indique el número de raíces reales de la siguiente ecuación:

\[ \sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{ 3x - 2 }\]

Dada la siguiente sucesión:

\[ x_{n} = \frac{24n^2+2n+3 cos(n)}{3n^{2}}; \; n=1; 2; ...\]

Diga cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

Determine el número de soluciones enteras y positivas de la siguiente inecuación

\[ \frac{ x^{2} -1}{5} + \frac{x+1}{2} < \frac{2x^2+3}{10} - \frac{x}{2} +3 \]

Sean las matrices A=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\] y B=\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 8\\ -3 & 1 & -2 \end{bmatrix}\]

Calcule Det(A \[\cdot\] B).

Determine el mayor número entero tal que, al dividirlo entre 117, se obtiene por resto un número que es quíntuple del cociente.

Sophia impone un capital a una tasa de interés simple del 6% anual, recibiendo al cabo de 4 años un monto de 12 400 dólares. Calcule el valor del capital en dólares.

Sean \[a\] y \[b\] números enteros positivos tales que \[MCD(a, b) = 36\] y \[MCM(a, b) = 504\]. Calcule la cantidad de pares ordenados \[(a, b)\] que cumplen con esta condición.

Se tiene una mezcla de agua con azúcar de concentración 0,75 gramos/litro. Al agregar agua se obtiene una mezcla de 1 litro con una concentración de 0,55 gramos/litro. Calcule la cantidad de agua (en litros) que se agregó.

Una herencia (en dólares) se distribuye entre dos hermanos de tal forma que las cantidades que reciben forman una razón geométrica igual a \[ \frac{13}{5} \] y una razón aritmética que es múltiplo de 80. Calcule el máximo valor (en dólares) de la herencia, si se sabe que es inferior a 1000 dólares.

Las notas de un grupo de alumnos se presentan en la siguiente tabla de frecuencias.

\begin{array} {|c|c|}\hline Nota & f_{i}\\ \hline 05 & 3 \\ \hline 10 & \\ \hline 15 & 15 \\ \hline 20 & \\ \hline \end{array}

Si la nota media fue 13 y hay 30 alumnos, ¿cuántos alumnos tienen nota mayor o igual a 15?

Si el costo de un kilogramos de platino puro es de 3500 soles, se desea fabricar un plato de 500 gramos usando platino y otro metal cuyo precio es despreciable. Si el precio de dicha aleación es de 700 soles, calcule la ley de dicha aleación.

A partir dela siguiente tabla de frecuencias, determine la mediana.

\begin{array} {|c|c|}\hline I_{i} & f_{i} \\ \hline [ 10; 20 \rangle & 20 \\ \hline [ 20; 30 \rangle & 40\\ \hline [ 30; 40 \rangle & 2\\ \hline [ 40; 50 ] & 2 \\ \hline \end{array}

En una proporción geométrica continua, los términos y la razón son números enteros positivos. La diferencia del primer antecedente con el doble del segundo antecedente es 30. Determine la menor diferencia positiva de los consecuentes.

A es directamente proporcional a B y en forma independiente B es directamente proporcional a C. Cuando A=2, el valor de C=6. Determine la suma de las cifras de A cuando C=36.

Una cuerda trazada en la base de un cono circular recto de 4 m de altura mide 8 m y la distancia de la cuerda al centro del círculo es 2 m, luego a 2 m de la base se traza un plano paralelo a dicha base, obteniéndose un tronco de cono. Calcule el volumen (en \[m^{3}\]) del tronco de cono.

En un polígono convexo equiángulo ABCDEF. Si AB=8 m, CD=6 m y DE=10 m, calcule (en m) BF.

En un recipiente que tiene la forma de un cilindro recto de base circular, se introduce un bloque de hielo en forma de un cubo de modo que sus vértices se ubican en las circunferencias de las bases. Si la arista del cubo mide 1 cm, calcular el volumen (en \[cm^3\]) del líquido necesario para llenar el recipiente luego de que se derrita totalmente el bloque de hielo.

Indique el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

I. En todo triángulo equilátero, el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro son el mismo punto.

II. En todo triángulo isósceles, el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro se encuentra en la misma recta.

III. En todo triángulo rectángulo, el baricentro, ortocentro y circuncentro se encuentran en la misma recta.

En un triángulo ABC, recto en B, el punto N pertenece a la hipotenusa. Si AN=AB y CN=NB, calcule la medida del ángulo BAC (en grados sexagesimales).

Enun tronco de prisma triangular recto ABC-DEF, las aristas laterales \[\overline{AD}\], \[ \overline{BE}\] y \[ \overline{CF}\] son perpendiculares a la base ABC y miden 8 m, 4 m, y 6 m respectivamente. Si el área de la región cuadrangular BEFC es 30 \[m^2\]y la distancia del vértice A a la arista \[ \overline{BC}\] es 5 m. Calcule (en \[m^3\]) el volumen del tronco de prisma recto.

Una recta \[\mathscr{L}\] está contenida en el plano \[\mathscr{P}\] y separa a este plano en dos semiplanos \[ \pi_{1} \], y \[ \pi_{2} \].

Indique el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

I. Semiplano \[\pi_{1}\; \cup\] semiplano \[\pi_{2}\] = plano \[\mathscr{P}\].

II. Semiplano \[\pi_{1}\; \cap\] semiplano \[\pi_{2}\] = recta \[\mathscr{P}\].

III. Semiplano \[ \pi_{1}\; \cup\] recta \[\mathscr{L}\ \cup\] semiplano \[\pi_{2}\] = plano \[ \mathscr{P}\].

En la figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y cuyo radio mide 25 m. Si AC=40 m y BC=30 m, calcule (en m) AB.

En la figura, calcule el valor de x (en grados sexagesimales).

En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se traza la bisectriz interior \[\overline{BD}\] tal que su prolongación interseca en \[F\] a la circunferencia.

Si \[AB=12 u\], \[BC=16 u\] y \[AC=20 u\], entonces \[(BD)(DF)\] es (en \[u^{2}\])

Sea ABC un triángulo acutángulo, que satisface las condiciones.

\[sen(A) + sen(C) = 2sen(B)\] y \[cos(A) = \frac{1}{8}\]

Calcule el valor de \[\frac{sen(A)}{sen(C)}\]

.

Sea ABC un triángulo con \[AB=8u\], \[BC=10u\], \[AC=3u\] y \[m_{a}\], es la mediana relativa al lado \[BC\].

Calcule el valor de \[4(m_{a})^{2}\] en \[u^{2}\].

Sea la función \[f\] continua y definida por intervalos, tal que:

\[f(x)=\begin{cases}A\;sen(\frac{x}{2}+\phi ), x<\pi \\ B\; cos(\frac{x}{3}+\theta), x > \pi \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1,x=\pi \end{cases}\]

donde A,B son números reales y \[\phi\], \[\theta\] son ángulos que cumplen \[-\pi<\theta<0<\phi<\pi\].

La gráfica de la función es

Siendo P y Q de máxima ordenada. Calcule el valor de \[A \cdot B \cdot cos(\phi + \theta)\]

Calcule el valor de

arccos(cos(3)) +arcsen(sen(2))

En un cuadrilátero inscriptible ABCD de lados AB=a, BC=b, CD=c y DA=d, en unidades (u). Determine la expresión equivalente a M en términos de los lados del cuadrilátero, siendo

\[M = \frac{sen(B)}{sen(A)}\]

En la figura mostrada, el punto O es el centro de los sectores circulares AOB, COD y EOF, OA=R, BC=DE=r, y las longitudes de los arcos son \[L_{1} = 6r\], \[L_{3}=10r\]. Calcule el valor de la medida del ángulo \[\theta\] en radianes.

Dada la función f, definida por \[f(x)=8\; vers(x) -3\], tal que \[ x \in \begin{bmatrix} \frac{\pi}{3} ; \frac{7\pi}{6} \end{bmatrix} \],determine el rango de la función \[ f \].

En un triángulo ABC, AB=4u, BC=5u, AC=6u. Calcule el valor de la expresión \[E = \sqrt{7} \left[ tan \left(\frac{A}{2}\right) + tan \left( \frac{B}{2} \right) \right] \]

Sea la función \[f\], definida por

\[ f(x)=tan(x)+3 | cot(x) | \], \[ \forall \in \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle\] .

Calcule el valor mínimo de la función \[f\].

Calcule el valor de K.

\[ K = \frac{ sen(323°) \cdot sec(300°) \cdot tan (240°) }{ cos(307°) \cdot tan(315°) \cdot sec (600°) \cdot tan (60°)} \]