EXAMEN UNI 2025-1

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Todo número \[n\; \in \;\mathbb{N}\] tal que \[n\] es un cuadrado perfecto, será \[\mathring{4}\] o \[(\mathring{4} + 1)\].

II. Existen números naturales en base 10 que terminan en 2, 3 u 8 y que cumplen con ser cuadrados perfectos.

III. En los números naturales y en el sistema decimal, un número cuadrado perfecto debe ser un número que termine en 35.

Indique la secuencia correcta.

Las notas de todos los estudiantes del curso de Matemática I se muestran en la siguiente tabla de frecuencias:

\[\begin{array}{|c|c|}\hline \text { NOTAS } & f_i \\\hline[0,4\rangle & 6 \\\hline[4,8\rangle & 14 \\\hline[8,12\rangle & 10 \\\hline[12,16\rangle & 12 \\\hline[16,20\rangle & 14 \\\hline\end{array}\]

Calcule el valor aproximado de la desviación estándar de las notas.

Si \[\overline{4xy7294} = \mathring{99} + 31\], calcule el valor de \[x^2 + y^2\]

Si \[\frac{a}{37} + \frac{n}{9}\; =\; 0, \widehat{(n + 1)a0}\], calcule el valor de \[n + a\]

Si \[\overline{abc} = 7 \cdot (a) \cdot (\overline{bc})\], calcule el valor de \[a + b + c\]

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)

I) \[101_{(4)} = 24_{(5)}\]

II) \[0,\widehat{4}_{(5)} \neq 1\]

III) \[0,\widehat{2}_{(5)} = 0,2_{(4)}\]

Indique la secuencia correcta.

Se presta un capital de 3 000 soles durante 18 meses a una tasa del 20% anual y capitalizable semestralmente. Calcule el interés obtenido en soles.

Si \[[ \overline{abc} - \overline{cba} = \overline{5**}]\] y el MCD de \[\overline{abc}\] y \[\overline{cba}\] es 18, entonces el valor de \[(b - a)\] es

Sean \[a\], \[b\], \[c\] y \[d\] números naturales. Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I) Si \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{9}{4}\], entonces \[\sqrt{\frac{a^2+c^2}{b^2+ d^2}} = \frac{3}{2}\].

II) Si \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\], entonces \[\frac{a+c}{b+d} = k\]. 

III) Si \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\], entonces \[\frac{a + 2b}{b} = \frac{c + 2d}{d}\].

Indique la secuencia correcta.

Tres amigas llegan al cine y se van a sentar juntas; Miguel y Roberto son amigos, van al mismo cine y también se van a sentar juntos; simultáneamente llegaron cinco personas desconocidas. El único espacio libre que queda es una fila de 10 butacas y todos se sientan en dicha fila. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres amigas se sienten juntas y a la vez Miguel y Roberto también se sienten juntos?

Sea el problema

\[P\;:\; mín\; (3x_1 - 4x_2)\]

\[(x_1 ; x_2) \in C\]

Si \[C = \{ (x_1 , x_2) / A \overline{x} \leq b \}\], \[A\] es una matriz de \[2 \times 2 \], \[b \in \mathbb{R}^2\], \[ \overline{x} = (x_1; x_2)\].

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si \[\overline{x}\] es solución del problema \[P\], entonces \[\overline{x}\] puede pertenecer al interior de \[C\].

II. En cada vértice \[\mu\] del conjunto \[C\] se cumple \[A\mu \leq b\].

III. En cada punto \[\omega\] del interior de \[C\] se tiene \[A\omega < b\].

Indique la secuencia correcta.

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Un polinomio de coeficientes racionales puede tener raíces complejas.

II. Sea \[P(x)\] un polinomio de coeficientes reales que cumple \[P(x) = - P(-x)\]. Si \[z \in \mathbb{C}\] es raíz de \[P(x)\], entonces \[-\overline{z}\] también lo es.

III. Sea \[P(x)\] un polinomio de coeficientes complejos. Si \[z\] es raíz de \[P(z)\], \[\overline{z}\] también lo es.

Indique la secuencia correcta.

Calcule el valor de la siguiente expresión:

\[\frac{a}{32} - 4\log_{0,5}{a}\]

Si \[\log_{b}{a} > 0\], \[\log_{\sqrt[7]{2}}{b} > 0\], \[a \neq b\] y además

\[ \log_{b}{a} + 11 \log_{a}{b} = 12\] y

\[ \log_{\sqrt[7]{2}}{b} - 7 \log_{b}{\sqrt[7]{2}} = 6\]

Sea

\[ M=\{ x \in \mathbb{Z}|\;\; ||x - 1|-1| - 2 > 0 \}\]

Calcule la suma de los elementos de \[\mathbb{Z} \backslash M\].

El esquema adjunto representa 4 centros de producción y 4 calles que las conectan por donde circulan vehículos en el sentido de la flecha.

Con base en dicho esquema, se asocia una matriz \[A = (a_{i,j}), i , j \;:\; 1,2,3,4\], definida como

\[a_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{si el centro}\; i\; \text{es el origen de la calle} j \\-1, & \text{si el centro}\; i \;\text{es el origen de la calle} j \\0, & \text{en cualquier otro caso}\end{cases}\]

Determine la matriz A.

Si se sabe que el intervalo

\[\left[ \frac{-5+\sqrt{a}}{2}; b\right]\]

es el conjunto solución de la siguiente inecuación

\[\sqrt{4-\sqrt{1-x}} - \sqrt{2-x} \geq 0\]

Calcule el valor de \[\frac{a+b}{7}\]

Sea \[f(x) = \frac{1}{x-1}\] y el conjunto

\[S= \left\{ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\}\;|\;f(x) < \frac{1}{2} \right\} \].

Además, \[g(x) = 2x_0 f(x) + b\], donde \[x_0\] es tal que \[f(x_0)\] es máximo sobre \[S\] y \[g(3) = 5\]. Determine el valor de \[g(2) + b\].

Si se sabe que \[a + b + c = 1\], halle el determinante de

\[A= \left(\begin{array}{c}a&b&c\\ b&c&a\\c&a&b\end{array}\right)\]

Un ganadero invierte en ganado vacuno una cantidad de dinero y obtiene el 5% de ganancia. Por otra inversión en ganado caprino, obtiene una ganancia de 3,5%. Si se sabe que el ganadero invirtió S/ 10000 y que la ganancia de la primera inversión supera en S/ 330 a la segunda, ¿qué valor se obtiene al realizar la diferencia entre los capitales de esas dos inversiones?

Sea \[f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\], una función definida por

\[f(x) = x^3 - 2x + 1\]

y la sucesión \[a_n = \frac{n + 1}{n}\]

Determine el valor de convergencia de la sucesión \[\{f(a_n)\}\]

Por el vértice \[A\] de un triángulo ABC se levanta la perpendicular \[\overline{AM}\] al plano que contiene al triángulo y luego se trazan las perpendiculares \[\overline{AP}\] a \[\overline{MB}\] y \[\overline{AQ}\] a \[\overline{MC}\]. Si \[QM = 4u\], \[BP = 8u\] y \[PM = 6u\], entonces la longitud de \[\overline{QC}\] (en \[u\]) es

El volumen del sólido limitado por un prisma regular \[ABC - PQR\] es \[\frac{27}{4}\sqrt{2}u^3\] y en la base \[PQR\] se ubica el punto \[O\]. Calcule el volumen (en \[u^3\]) del sólido limitado por el tetraedro regular \[OABC\].

En un triángulo \[ABC\], las distancias de los vértices \[A\], \[B\] y \[C\] a una recta secante a los lados \[\overline{AB}\] y \[\overline{BC}\] son \[AE = 17 \;cm\], \[BF = 10\; cm\] y \[CQ = 11\; cm\]. Calcule la distancia (en cm) del baricentro del triángulo \[ABC\] a la recta.

Los cuadrados \[ABCD\] y \[BCEF\] están contenidos en planos perpendiculares. Calcule la medida (en grados sexagesimales) del ángulo entre \[\overleftrightarrow{AC}\] y \[\overleftrightarrow{FD}\].

En un polígono regular, las longitudes de los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita son \[R\] y \[r\] respectivamente, tal que \[R = \frac{2}{\sqrt{3}}r\].

Calcule el número de diagonales de dicho polígono.

En la figura, se muestran dos superficies semiesféricas de longitud de radios \[R\] y \[r\]. Si \[AP = 2413cm\] y \[BP = 4cm\], entonces el área (en \[cm^2\]) de la superficie semiesférica mayor es

En un tetraedro regular \[ABCD\], \[M\] es punto medio de \[\overline{BC}\] y en la altura \[\overline{DH}\] del tetraedro se ubica el punto \[L\]. Si \[AL = DH\], entonces \[m\measuredangle HLM\] es

En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral y la arista básica miden cada una \[2a\]. Calcule el volumen del sólido limitado por la pirámide.

En un triángulo \[ABC\], \[\overline{BM}\] es una mediana, \[AB = BM\], \[AB = 6\;cm\] y \[AC = 12\;cm\]. Calcule la longitud (en \[cm\]) de \[\overline{BC}\].

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si \[R_1\] es una región determinada por un triángulo y \[R_2\] es el círculo inscrito en dicho triángulo, entonces \[R_1 - R_2\] es un conjunto convexo.

II. El vacío es un conjunto convexo.

III. Un punto es un conjunto convexo.

Indique la secuencia correcta.

Considere una región cuadrangular convexa de área \[37,5\;cm^2\], cuyas diagonales miden 10 cm y 15 cm. Calcule la medida del menor ángulo (en grados sexagesimales) que forman dichas diagonales.

Si se sabe que \[4sen(x) cos(x) > 0\] y considerando las expresiones:

\[U = (5 - 3 \tan(x)) \cdot cot(x) + 3\]

\[N = \cos^9 (x) sen^{39}(x)\]

\[I = sen ^4 (2x) - 10 sen^2 (2x)\]

Indique los signos de \[U\], \[N\], \[I\] en el orden mencionado.

Un cono circular recto fue construido a partir de un disco de papel de radio \[R\] (en cm), luego de retirar un sector circular de ángulo central \[\frac{\pi}{6}\] rad. Determine la longitud de la circunferencia (en cm) generada por un plano secante al cono y paralelo a la base del mismo, obteniendo un tronco de cono circular de área lateral igual a \[ \frac{\pi R^2}{6}\; cm^2\].

Determine el conjunto solución de la ecuación trigonométrica

\[\frac{1 + \cos(4\theta)}{2} + 5\cos^2(2\theta) = 0\]

Si \[ sen(\alpha) = \frac{ tan(\pi / 6) + sen( \pi / 3)} {\sqrt{1 + \sec^2 (\pi / 4 )}}\] calcule \[\frac{\cos(\alpha) + \tan(\alpha)}{\cos(a) - \tan(\alpha)}\]

Para \[-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\], en la figura

la región sombreada puede representarse por la desigualdad

Determine la ecuación en coordenadas transformadas \[X'Y'\] de una recta cuya ecuación en coordenadas originales es \[L : y = x + 3\sqrt{2}\], luego que los ejes \[XY\] han sido rotados 45° en sentido antihorario.

Se define \[f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\] mediante la regla de correspondencia

\[f(x) = 2 sen (\cos(x)) + 2vers( \cos(x)) + 2cov(\cos(x)) - 1\]

Determine el rango de \[f\].

Considere la igualdad \[10 \cos(2\alpha) - 13 \cos(3\alpha) + 2sen \left(\frac{5\alpha}{2}\right) sen \left(\frac{a}{2}\right) = 0\], donde \[\alpha \notin \left\{ (2k + 1) \frac{\pi}{6} ; k \in \mathbb{Z} \right\}\]

Calcule \[\frac{11}{28} [sec(\alpha) + sec(3\alpha)]\]

Calcule aproximadamente el valor de E.

\[E = \frac{\cos(240°) \cdot \tan(210°) - \sec(120°) }{ sen(150°) \cdot \csc(315°)}\]